Добрый вечер!
Наследником будете Вы, потому что есть завещание. Второй внук без завещания может претендовать на часть наследства только в случае, если он состоял на её иждивении (несовершеннолетний, инвалид).
Прописка второго внука позволит ему проживать в этой квартире и после того, как Вы станете собственником.
Собственником он не станет (не сможет продать, подарить, сдать квартиру), но при сохранении его прописки сложности у вас возникнут:
1) он может проживать в квартире на законном основании.
2) сможет без вашего согласия прописать в квартире своих несовершеннолетних детей (когда они родятся), а это значительно обременит сделки с квартирой, если захотите потом квартиру бабушки продать.
3) для продажи квартиры все прописанные лица должны быть сняты с учета, иначе сделка не пройдет.
Право потребовать его выселения получите, но выселить его сможете либо по его добровольному личному заявлению в паспортный стол, либо через суд. Самостоятельно без суда вы его выписать не сможете.
Поэтому чтобы второй внук не смог проживать в квартире, не смог прописать там своих несовершеннолетних детей и вам не нужно было его участие при продаже квартиры, его нужно будет выписывать из квартиры — добровольно или через суд.