Можно ли наказать человека за оскорбления, если это было написано в личных сообщениях?

Здравствуйте, Анастасия!

Наказать человека за оскорбления и угрозу физической расправы можно, но есть нюансы.

Так, ч. 1 ст. 5.61 КоАП РФ предусматривает административную ответственность за оскорбление, то есть унижение чести и достоинства другого лица, выраженное в неприличной форме, —

влечет наложение административного штрафа на граждан в размере от одной тысячи до трех тысяч рублей; на должностных лиц — от десяти тысяч до тридцати тысяч рублей; на юридических лиц — от пятидесяти тысяч до ста тысяч рублей.

Если у Вас есть скриншоты переписки, это уже само по себе доказательство. Также желательно взять распечатку данной переписки у операторов мобильной сети, что также будет подтверждать информацию их скриншотов смс-сообщений.

Что касается угроз физической расправы, то за нее предусмотрена уголовная ответственность, но лишь за угрозу причинения тяжкого вреда здоровья либо убийства.

Данное преступление — угроза причинения тяжкого вреда здоровью предусмотрена ч. 1 ст. 119 УК РФ. Например, если человек угрожает Вас просто побить, данная угроза не подпадает под действия УК РФ. Однако, если человек угрожает Вам, например, проломить голову, искалечить, изуродовать, избить каким-то предметом, угрожающим жизни и здоровью (например, битой) и т.п. (извиняюсь за страшные примеры, но так будет понятнее), то данные угрозы будут подпадать по категорию тяжкого вреда здоровью.

Указанное преступление подразумевает под собой информационное воздействие на потерпевшего, т.е. на Вас с целью изменения Вашего поведения или действий, выгодных (благоприятных) для угрожающего потерпевшему лица.
Для того, чтобы действительно угроза причинения тяжкого вреда здоровью подпадала под состав вышеуказанного преступления необходимо, чтобы сама угроза была конкретной и реальной. Т.е. это должна быть такая угроза, которой Вы как потерпевшая реально опасаетесь считая, что лицо угрожающее Вам причинением тяжкого вреда здоровью, хоть на улице, хоть по телефону и т.п., реально может ее воплотить в жизнь. При этом необходимо учитывать личность самого угрожающего Вам лица, т.е. его поведения в настоящее время, его предшествующие действия (например — судимость либо неадекватное, агрессивное поведение и т.п.), угроза Вам оружием лили иными предметами в качестве оружия. 

Главным критерием должна быть доступность восприятия угроз Вами как потерпевшей стороной, и того факта, что Вы действительно опасаетесь угроз причинения тяжкого вреда здоровью со стороны лица, угрожающего Вам и воспринимаете его угрозы как реальные (выполнимые). 
Преступление считается оконченным с момента высказывания или доведения иным способом угрозы убийством.
Я бы советовал Вам не только записать телефонный разговор и угрозы лица, угрожающего Вам причинением тяжкого вреда здоровью, сохранить его смс-сообщения (в т.ч. оскорбления и т.п., что будет подтверждать факт агрессивного и угрожающего для Вас поведения лица), но и попытаться зафиксировать момент его звонка по громкой связи, чтобы его угрозы в Ваш адрес слышал еще кто-нибудь, находящийся рядом с Вами, например подруга, которая «случайно» и действительно услышала угрозы в Ваш адрес по телефону, когда пришла Вас навестить. В таковом случае Ваша подруга будет свидетелем угроз тяжкого вреда здоровью в Ваш адрес.
После вышеуказанных действий, как Вы собирете побольше вышеуказанных угроз в виде сообщений, аудиозаписей, свидетелей (хотя бы всего по несколько), можете смело идти в местное отделение полиции и писать заявление в порядке ст. 141 УПК РФ на лицо, которое Вам угрожает причинением тяжкого вреда здоровью, поясняя в заявлении и объяснениях, что Вы реально воспринимаете его угрозы, опасаетесь за свою жизнь и здоровье, боитесь выходить на улицу и т.п., а его систематические оскорбления унижают Ваши честь и достоинство, заставляют Вас паниковать еще больше, выводят из психического равновесия, в результате чего Вы начинаете опасаться реальных угроз со стороны лица, которое Вам пишет смс-сообщения и угрожает физической расправой еще больше и т.п. в том же духе.
Все вышеуказанные меры необходимы для того, чтобы создать доказательственную базу для сотрудников полиции, т.к. данная категория дел — угроза причинения тяжкого вреда здоровью очень тяжело доказывается и трудно «заходит» по суду.
Надеюсь, мой ответ был Вам полезен!