Обязательна ли прописка, чтобы встать на учёт в больницу?

Артём Андреевич, доброго дня!

я собираюсь переезжать в другой город, Москву.

В данном случае значение имеет сам факт переезда в другое место жительства в другой город. Если место жительства гражданина меняется, то в течение 7 дней ему нужно прописаться по новому адресу. За нарушение этого срока можно получить штраф (ст.ст.19.15.1, 19.15.2 КоАП РФ).

Постановление Правительства РФ от 17.07.1995 N 713
Гражданин, изменивший место жительства, обязан не позднее 7 дней со дня прибытия на новое место жительства обратиться к лицам, ответственным за прием и передачу в органы регистрационного учета документов, и представить:
— документ, удостоверяющий личность;
— заявление установленной формы о регистрации по месту жительства;
— документ, являющийся в соответствии с жилищным законодательством Российской Федерации основанием для вселения в жилое помещение.

С уважением, Кузьмина Дарья!