Добрый день, Илья. Если тому есть основания Вас могут уволить по инициативе работодателя, даже если Вы не предоставляли ему свою трудовую книжку.
Фактически Вы состоите с работодателем в трудовых отношениях, эти отношения закреплены трудовым договором.
ТК РФ Статья 16. Основания возникновения трудовых отношений
Трудовые отношения возникают между работником и работодателем на основании трудового договора, заключаемого ими в соответствии с настоящим Кодексом.
В то же время на работодателе лежит ответственность за ведение трудовых книжек. Нарушение установленных правил влечет негативные последствия, установленные законом.
Поступление в трудовую инспекцию обращений или заявления работника о нарушении работодателем его трудовых прав является основанием для проведения внеплановой проверки.
Результатом такой проверки может стать, в т.ч., привлечение работодателя к административной ответственности по ч.1 ст. 5.27 КоАП РФ.
Однако это не является препятствием к увольнению работника (если тому есть основания).