С кем оставят ребенка после развода, если у матери нет прописки?

Максим, здравствуйте!

Согласно части 1 статьи 21 СК РФ

расторжение брака производится в судебном порядке при наличии у супругов общих несовершеннолетних детей.

С кем из родителей будет проживать несовершеннолетний ребенок после развода определяет суд, при отсутствии у Вас соответствующего соглашения (части 2 статьи 24 СК РФ).

Сам по себе факт отсутствия у матери регистрации по месту жительства не является определяющим для суда для определения места жительства ребенка. 

При этом суд в данных спорах согласно части 3 статьи 65 СК РФ

учитывает привязанность ребёнка к каждому из родителей, братьям и сестрам, возраст ребенка, нравственные и иные личные качества родителей, отношения, существующие между каждым из родителей и ребенком, возможность создания ребёнку условий для воспитания и развития (род деятельности, режим работы родителей, материальное и семейное положение родителей и другое).