Могу ли я забрать нашего ребенка у сожительницы, если она даст ему другую фамилию?

Именно забрать не сможете. Вы сможете установить отцовство в судебном порядке. Для этого нужно подготовить и обращаться с исковым заявлением в суд. 

ГПК РФ Статья 131. Форма и содержание искового заявления
 

1. Исковое заявление подается в суд в письменной форме.
2. В исковом заявлении должны быть указаны:
1) наименование суда, в который подается заявление;
2) наименование истца, его место жительства или, если истцом является организация, ее адрес, а также наименование представителя и его адрес, если заявление подается представителем;
(в ред. Федерального закона от 28.11.2018 N 451-ФЗ)

(см. текст в предыдущей редакции)

КонсультантПлюс: примечание.
С 30.03.2020 п. 3 ч. 2 ст. 131 излагается в новой редакции (ФЗ от 28.11.2018 N 451-ФЗ). См. будущую редакцию.

3) наименование ответчика, его место жительства или, если ответчиком является организация, ее место нахождения;
4) в чем заключается нарушение либо угроза нарушения прав, свобод или законных интересов истца и его требования;
5) обстоятельства, на которых истец основывает свои требования, и доказательства, подтверждающие эти обстоятельства;
6) цена иска, если он подлежит оценке, а также расчет взыскиваемых или оспариваемых денежных сумм;
7) сведения о соблюдении досудебного порядка обращения к ответчику, если это установлено федеральным законом;
(в ред. Федерального закона от 28.11.2018 N 451-ФЗ)

(см. текст в предыдущей редакции)

7.1) сведения о предпринятых стороной (сторонами) действиях, направленных на примирение, если такие действия предпринимались;
(п. 7.1 введен Федеральным законом от 26.07.2019 N 197-ФЗ)

8) перечень прилагаемых к заявлению документов.
В заявлении могут быть указаны номера телефонов, факсов, адреса электронной почты истца, его представителя, ответчика, иные сведения, имеющие значение для рассмотрения и разрешения дела, а также изложены ходатайства истца.
3. В исковом заявлении, предъявляемом прокурором в защиту интересов Российской Федерации, субъектов Российской Федерации, муниципальных образований или в защиту прав, свобод и законных интересов неопределенного круга лиц, должно быть указано, в чем конкретно заключаются их интересы, какое право нарушено, а также должна содержаться ссылка на закон или иной нормативный правовой акт, предусматривающие способы защиты этих интересов.
В случае обращения прокурора в защиту законных интересов гражданина в заявлении должно содержаться обоснование невозможности предъявления иска самим гражданином либо указание на обращение гражданина к прокурору.
(в ред. Федерального закона от 05.04.2009 N 43-ФЗ)

(см. текст в предыдущей редакции)

4. Исковое заявление подписывается истцом или его представителем при наличии у него полномочий на подписание заявления и предъявление его в суд.
Исковое заявление, подаваемое посредством заполнения формы, размещенной на официальном сайте суда в информационно-телекоммуникационной сети «Интернет», содержащее ходатайство об обеспечении иска, подписывается усиленной квалифицированной электронной подписью в порядке, установленном законодательством Российской Федерации.

Здравствуйте,

Если вы установите отцовство (через ЗАГС или в судебном порядке), у вас будет тот же объем прав, что и у матери, вы сможете забрать ребенка. Порядок определения места жительства ребенка регулируется п.3 ст. 65 Семейного кодекса. Также вы можете общаться с ребенком, если он будет жить с матерью. Об общении вы можете заключить соглашение или установить порядок общения через суд (ст. 66 Семейного кодекса).

С уважением, Андрей Козырев