Может ли мужчина находящийся в браке с одной, но проживший с другой женщиной в гражданском браке10 лет, претендовать на наследство?

Она может требовать от него понесенных расходов (коммуналка, интернет, покупки за еду и т.д.) за три года. Главное, что бы чеки были в наличии. Может требовать как на прямую, так и в судебном порядке.

Но при этом, она должна доказать, что он с ней все это время проживал и она тратила денежные средства на него.

Если он там не был прописан, то это доказывается — свидетелями, перепиской в месенджирах, переводы на карту и т.д.