Законно ли бывшая сноха хочет прописать в мой дом своего новорожденного ребенка от другого брака?

Здравствуйте! Зарегистрировать ребёнка по месту своей регистрации она, действительно, сможет, и Вашего согласия на это не потребуется. Поэтому не медлите и обращайтесь в суд за снятием её с регистрационного учёта. Правовые основания для этого имеются и с регистрации суд её снимет (ст. 209 ГК РФ, ст. 31 ЖК РФ). 

Впоследствии требовать предоставить ей, ее ребенку и новому мужу часть дома для проживания, хотя членами моей семьи данные люди 2 года уже не являются. Законно ли это, и что мне делать?

Это у неё не получится, если ВЫ будете защищать свои права и возражать относительно вселения.  Никаких прав, как следует из вопроса, на жилое помещение она не приобрела. Чтобы не получить иск о вселении, обратитесь в суд первыми и снимите её с регистрации. 

Александр, добрый день. Думаю вам необходимо начинать процедуру принудительного снятия вашей бывшей родственницы с регистрационного учета. Данная процедура проводится в суде при предъявлении иска.

Если вам необходима помощь в составлении документов или представлении ваших интересов в суде обращайтесь ко мне в чат.

С уважением, Михаил