Как можно взыскать компенсацию с хозяйки квартиры?

Здравствуйте, Кристина!

  Согласно ч.3 ст. 619 ГК РФ Арендодатель вправе требовать досрочного расторжения договора только после направления Арендатору письменного предупреждения о необходимости исполнения им обязательства в разумный срок.
    Таким образом, хозяйка квартиры должна Вас письменно предупредить (уведомить) о расторжении Договора аренды и о необходимости освободить арендуемое жилье.

Взыскать причиненный Вам Арендодателем ущерб можно только в судебном порядке. Согласно ч.1 ст. 3 ГПК РФ заинтересованное лицо вправе обратиться в суд за защитой нарушенных либо оспариваемых прав, свобод или законных интересов.

К сожалению, из Вашего вопроса не ясен ряд моментов, позволяющих дать более детальный и конкретный ответ, а именно:
-заключался ли между Вами (Арендатором) и хозяйкой квартиры (Арендодателем) Договор аренды жилья в письменном виде, если да, на какой срок;
— есть ли у Вас документы, подтверждающие внесение Вами предоплаты по Договору;
— составлялся между Вами и хозяйкой квартиры акт приема-передачи Вам арендуемого жилья;
— какова цена договора и порядок расчетов по нему, предусмотрена ли этим порядком предоплата, если да, в каком размере, в каких случаях предусмотрено возвращение предоплаты Арендатору;
— За сколько дней Арендодатель обязан Вас уведомить о расторжении Договора аренды и освобождении арендуемого жилья.