Как поделить кота в таком случае по закону?

Если не можете договориться, то вопрос придется решать в судебном порядке. Вы можете подать иск о разделе имущества (ГК РФ Статья 137. Животные). Суд будет решать, кому из супругов передать животное.

Одному достанется кот, другому — денежная компенсация

СК РФ Статья 38. В случае, если одному из супругов передается имущество, стоимость которого превышает причитающуюся ему долю, другому супругу может быть присуждена соответствующая денежная или иная компенсация.

Здравствуйте. Согласно ст. 137 гк рф к животным применяются общие правила об имуществе постольку, поскольку законом или иными правовыми актами не установлено иное. 
Согласно ст. 38 Семейного кодекса Рф раздел общего имущества супругов может быть произведен как в период брака, так и после его расторжения по требованию любого из супругов. Общее имущество супругов может быть разделено между супругами по их соглашению.  В случае спора раздел общего имущества супругов, а также определение долей супругов в этом имуществе производятся в судебном порядке.

На основании вышеизложенного, кот- это совместно нажитое имущество, раздел которого в результате развода может производится по соглашению сторон. При отсутствии согласия каждый из супругов вправе обратиться в суд. При этом, если отсутствуют документы по покупке кота, Вам нужно будет докакать, что именно Вы за ним следили, кормили. Кроме того, Вы можете привлечь в качестве свидетеля продавца (если возможно) либо иное лицо, которое присутствовало или знало, что кота купили именно Вы за собственные деньги.

Здравствуйте, AnnaZ!

Согласно ст.137 ГК РФ к животным относятся общие правила об имуществе.

На основании ст.34 СК РФ имущество, нажитое супругами во время брака, является их совместной собственностью.
Согласно ст. 38 СК РФ раздел общего имущества супругов может быть произведен как в период брака, так и после его расторжения по требованию любого из супругов, а также в случае заявления кредитором требования о разделе общего имущества супругов для обращения взыскания на долю одного из супругов в общем имуществе супругов.
Общее имущество супругов может быть разделено между супругами по их соглашению. Соглашение о разделе общего имущества, нажитого супругами в период брака, должно быть нотариально удостоверено.
В случае спора раздел общего имущества супругов, а также определение долей супругов в этом имуществе производятся в судебном порядке.
На основании вышеизложенного, можно сделать вывод, что  при рассмотрении вопросов раздела животных следует руководствоваться общими правилами гражданского и семейного законодательства о совместно нажитом имуществе супругов и его разделе.
А именно вопрос о разделе кота может быть решен Вами и супругом по соглашению, а в случае недостижения согласия – Вы вправе обратиться в суд с требованиями о разделе указанного имущества супругов. На практике суды при рассмотрении споров о разделе животных учитывают привязанность каждого из супругов к животному, условия и уход, которые каждый из супругов может предоставить животному и т.д.
В любом случае данные вопросы требуют доказывания, и то, каким образом в Вашем случае суд разрешит вопрос раздела кота будет зависеть от предоставленных Вами доказательств и оценки их судом.
Следует отметить, что все вышеуказанное применимо лишь в том случае, если в отношении совместно нажитого имущества супругов, в частности, кота, Вами и Вашим супругом не был заключен брачный договор. При заключении брачного договора необходимо руководствоваться его условиями.