Елена, здравствуйте!
1. Сначала нужно установить факт отцовства через суд. В случае рождения ребенка у родителей, не состоящих в браке между собой, и при отсутствии совместного заявления родителей или заявления отца ребенка (пункт 4 статьи 48 настоящего Кодекса) происхождение ребенка от конкретного лица (отцовство) устанавливается в судебном порядке по заявлению одного из родителей, опекуна (попечителя) ребенка или по заявлению лица, на иждивении которого находится ребенок, а также по заявлению самого ребенка по достижении им совершеннолетия. При этом суд принимает во внимание любые доказательства, с достоверностью подтверждающие происхождение ребенка от конкретного лица. (ст. 49 СК РФ)
2. Обычно кто инициатор экспертизы на того и суд возлагает расходы.
3. Важно понимать, что экспертиза это одно из доказательств, поэтому иные тоже могут использоваться.
С уважением, юрист ДМитрий Квон.