Здравствуйте,
Пока отцовство не установлено, отец ребенка не имеет никаких прав и обязанностей по отношению к ребенку и в т.ч. не имеет права обращаться с заявлением о лишении матери родительских прав. Основания лишения родительских прав установлены ст. 69 Семейного кодекса, в вашем случае они вряд ли есть.
После установления отцовства вы сможете взыскать алименты с отца ребенка, определить место жительства ребенка с матерью (п.3 ст. 65 СК РФ), установить порядок общения с отцом (если конечно не докажете ущерб ребенку от общения с отцом, абз.2 п.1, п.2 ст.66 СК РФ).
Установление отцовства вам выгодно, т.к. вы можете взыскать алименты. А спор о месте жительства ребенка и вопрос общения с отцом можно решить через суд. Поскольку ребенок совсем маленький, вы должны иметь явные родительские дефекты (такие как хронический алкоголим, наркомания и т.п.), чтобы суд передал ребенка отцу.
С уважением, Андрей Козырев