Здравствуйте, Елена! Вам нужно в договоре купли-продажи указать в качестве покупателей и Вас, и сожителя с определением долей каждого. А вот в ГИБДД регистрация будет на одного из Вас, при этом право второго собственника будет действительным.
Приказ МВД России от 26.06.2018 N 399 «Об утверждении Правил государственной регистрации автомототранспортных средств и прицепов к ним в Государственной инспекции безопасности дорожного движения Министерства внутренних дел Российской Федерации, образца бланка свидетельства о регистрации транспортного средства и признании утратившими силу нормативных правовых актов МВД России и отдельных положений нормативных правовых актов МВД России»
Регистрация транспортного средства производится только за одним юридическим или физическим лицом либо индивидуальным предпринимателем.
Регистрация транспортного средства, принадлежащего двум и более собственникам, осуществляется за одним из них при наличии письменного согласия на это остальных собственников, поданного ими в регистрационное подразделение Госавтоинспекции при производстве регистрационного действия.