Правомерно ли предъявляют долг за 2014-2015 годы, если я купил квартиру в мае 2018 года?

Добрый день, Вадим Александрович!

Согласно положений статьи подпункта 5 части 2 статьи 153 Жилищного кодекса РФ обязанность по уплате возникает у собственника помещения с момента возникновения права собственности на такое помещение.

Частью 8.1 статьи 156 Жилищного кодекса РФ установлено, что минимальный размер взноса за капитальный ремонт устанавливается нормативным правовым актом субъекта Российской Федерации.

Больше минимального размера можно установить только по решению общего собрания.

поэтому напишите в адрес регионального оператора письменный запрос, где попросите установить на основании чего произведен перерасчет.

В части срока исковой давности — он применяется только в суде. Но он к Вам отношения иметь не должен. Вы стали собственником с мая 2018, поэтому и оплачивать должны только с этого периода.  

Удачи!