Как мне можно подать на бракоразводный процесс в таком случае?

Здравствуйте!
При наличии совместных несовершеннолетних детей расторжение брака может быть осуществлено только в судебном порядке (ст. 21 Семейного кодекса РФ), измену можете указать в иске в качестве обоснования развода.

П. 4 ст.31 Жилищного кодекса РФ предусмотрено, что в случае прекращения семейных отношений с собственником жилого помещения право пользования данным жилым помещением за бывшим членом семьи собственника этого жилого помещения не сохраняется, если иное не установлено соглашением между собственником и бывшим членом его семьи. Если у бывшего члена семьи собственника жилого помещения отсутствуют основания приобретения или осуществления права пользования иным жилым помещением, а также если имущественное положение бывшего члена семьи собственника жилого помещения и другие заслуживающие внимания обстоятельства не позволяют ему обеспечить себя иным жилым помещением, право пользования жилым помещением, принадлежащим указанному собственнику, может быть сохранено за бывшим членом его семьи на определенный срок на основании решения суда. При этом суд вправе обязать собственника жилого помещения обеспечить иным жилым помещением бывшего супруга и других членов его семьи, в пользу которых собственник исполняет алиментные обязательства, по их требованию.

Таким образом, если Вы хотите проживать в квартире супруга с детьми после развода, сделать это можно по соглашению с ним, либо, если супруг не согласится, можно обратится в суд с иском о сохранении за вами права пользования указанной квартирой.