Здравствуйте, Евгений.
Да, Вы обязаны как собственник нести бремя содержания принадлежащего Вам имущества (ст.209 ГК РФ). При этом предполагается, что квартира принадлежит Вам не с момента выдачи свидетельства о праве на наследство или регистрации права собственности, а с момента открытия наследства, то есть с момента смерти наследодателя. Это следует из п.4 ст.1152 ГК РФ
4. Принятое наследство признается принадлежащим наследнику со дня открытия наследства независимо от времени его фактического принятия, а также независимо от момента государственной регистрации права наследника на наследственное имущество, когда такое право подлежит государственной регистрации.
Тот факт, что в квартире никто не проживал, не имеет значения.
Правомерно требование и об оплате долга, возникшего при прежнем собственнике.
Хот и существует правило, предусмотренное ст.153 ЖК РФ о возникновении обязанности по уплате жилищно-коммунальных услуг с момента возникновения права собственности, но есть и ст.1175 ГК РФ, согласно которой наследники несут ответственность по долгам наследодателя в пределах стоимости принятого ими наследства. Если наследников несколько, то ответственность несут все. При этом следует понимать, когда задолженность возникла. кредиторы вправе предъявить наследникам требования в пределах сроков исковой давности, которые составляют 3 года по каждому ежемесячному платежу за ЖКУ (п.2 ст.200 ГК РФ) в данном случае.
Рекомендую проверить сроки давности (3 года) по требованиям управляющей компании и если часть из них истекла то заявлять о пропуске срока исковой давности при взыскании их в судебном порядке.