Здравствуйте!
Если он признал иск об установлении отцовства и прошло около года со времени вступления решения суда в силу, и исходя из Вашего вопроса я полагаю что он не обжаловал решение в апелляционном порядке, то в настоящее время он не может обжаловать это решение суда, его угрозы судами ни на чем не основаны.
ст. 376, «Гражданский процессуальный кодекс Российской Федерации» от 14.11.2002 N 138-ФЗ
2. Судебные постановления могут быть обжалованы в суд кассационной инстанции в течение шести месяцев со дня их вступления в законную силу при условии, что лицами, указанными в части первой настоящей статьи, были исчерпаны иные установленные настоящим Кодексом способы обжалования судебного постановления до дня вступления его в законную силу.
Если у Вас остались вопросы, пишите, обязательно отвечу. Также Вы можете обратиться ко мне в чат и заказать персональную консультацию или подготовку документа по Вашему вопросу. Всего доброго!