Здравствуйте, Елена! Залогодержателем по залогу является банк или иная кредитная организация, либо другое лицо, предоставившие кредит или целевой заем на приобретение недвижимого имущества.
Согласно ст. 346 ГК РФ:
1. Залогодатель, у которого остается предмет залога, вправе пользоваться, если иное не предусмотрено договором и не вытекает из существа залога, предметом залога в соответствии с его назначением, в том числе извлекать из него плоды и доходы.
3. Если иное не предусмотрено законом или договором залога, залогодатель, у которого осталось заложенное имущество, вправе передавать без согласия залогодержателя заложенное имущество во временное владение или пользование другим лицам. В этом случае залогодатель не освобождается от исполнения обязанностей по договору залога.
Если для передачи залогодателем заложенного имущества во временное владение или пользование другим лицам необходимо согласие залогодержателя, при нарушении залогодателем этого условия применяются правила, установленные подпунктом 3 пункта 2 статьи 351настоящего Кодекса.
То есть, Вам нужно ознакомиться с договором залога, где посмотреть, предусмотрено ли обязательное согласие залогодержателя на передачу имущества в аренду. Если такое согласие предусмотрено, включите в договор условие, что арендодатель это согласие получил и несёт ответственность в случае предъявления претензий залогодержателем. Арендовать такую квартиру можно.