Олеся, добрый день!
Если Вами пока ставится вопрос о моральном вреде (без неустойки за просрочку), то его компенсация осуществляется в судебном порядке в соответствии со ст. 151 ГК РФ и Закона о защите прав потребителей.
Для возмещения необходимо подать исковое заявление в районный суд по месту Вашего жительства.
но подавать отдельно иск о моральном вреде я не рекомендовал бы. Дождитесь окончания ремонта или возврата Вам ТС без такового, и подайте в суд уже все требования (нейстойка+мор.вред+страховое возмещение (если не выплатят и ремонт не проведут) + штраф (также если не выплатят возмещение и ремонт не проведут)).
но перед подачей такого иска нужно будет соблюсти претензионный порядок