Обязана ли я использовать бахилы в спортивном зале?

Здравствуйте! Этот вопрос регулируется правилами, установленными в данном спортивном зале, а также договором, если вы заключали какой-то договор с этим учреждением.

Скорее всего в правилах пользования указывается либо сменная обувь, либо бахилы, что обусловлено очевидными санитарно-гигиеническими нормами. Вы вправе принести свои бахилы и использовать их, а вот требования покупать бахилы именно в этом зале незаконно. Местным юристам напомните о невозможности принудить кого-либо к заключению договора (в данном случае купли-продажи):

Гражданский кодекс РФ Статья 421. Свобода договора
 
1. Граждане и юридические лица свободны в заключении договора.
Понуждение к заключению договора не допускается, за исключением случаев, когда обязанность заключить договор предусмотрена настоящим Кодексом, законом или добровольно принятым обязательством.