Здравствуйте, Иван! Вопрос здесь намного глужбже, чем доказывание того, что люди вели совместное хозяйство. Если они не состояли в браке, то наследником сожительница не является в силу закона. Она может наследовать только при соблюдении условий, предусмотренных ст. 1148 ГК РФ:
К наследникам по закону относятся граждане, которые не входят в круг наследников, указанных в статьях 1142 - 1145 настоящего Кодекса, но ко дню открытия наследства являлись нетрудоспособными и не менее года до смерти наследодателя находились на его иждивении и проживали совместно с ним. При наличии других наследников по закону они наследуют вместе и наравне с наследниками той очереди, которая призывается к наследованию.
При отсутствии других наследников по закону указанные в пункте 2 настоящей статьи нетрудоспособные иждивенцы наследодателя наследуют самостоятельно в качестве наследников восьмой очереди.
То есть, доказыванию здесь подлежит не только факт ведения совместного хозяйства, но и нахождение на иждивении и факт совместного проживания. Если факт совместного проживания можно доказать свидетельскими показаниями, то с фактом нахождения на иждивении гораздо сложнее. Здесь нужно подтверждать доходами умершего и лица, нахождение на иждивении которого предполагается, то есть сожительницы.
В любом случае, всё это нужно делать в судебном порядке.
Другой вопрос, если имущество приобреталось в период совместного проживания за счёт общих денежных средств. Здесь нужно доказывать факт вложения в приобретение мущества денежынх средств и наличие соглашения о приобретении его в совместную собственность. И тоже только в судебном порядке.