Здравствуйте, Михаил!
Если это единственная квартира, которую вы хотите сдавать в аренду, совсем не обязательно регистрировать ИП, так как это не будет подпадать под понятие предпринимательской деятельности.
Вам необходимо заключить договор найма жилого помещения, а не аренды с предполагаемыми будущими жильцами («арендаторами») квартиры.
От имени бабушки можете оформить доверенность лишь на подписание договора найма жилого помещения и представления её интересов как наймодателя. В таком случае договор заключается от имени бабушки, а Вы действуете как её представитель.
Либо Вы можете изначально заключить договор найма с бабушкой с правом поднайма, по которому будете самостоятельно сдавать квартиру в поднаём.
Если Вам нужна более подробная консультация, Вы можете обратиться в чат к юристам настоящего сайта. Услуги в чате оказываются на платной основе.
С уважением, Гриневич А.М.
+ вариант с безвозмездным пользованием, и сдачей