Здравствуйте Роман.
Да это возможно, осуществлять трудовую деятельность или нет, это право граждан. следовательно трудовые правоотношения могут и не оформляться если отсутствует желание гражданина на их оформление.
Статья 15 Трудового кодекса РФ:
Трудовые отношения — отношения, основанные на соглашении между работником и работодателем о личном выполнении работником за плату трудовой функции (работы по должности в соответствии со штатным расписанием, профессии, специальности с указанием квалификации; конкретного вида поручаемой работнику работы) в интересах, под управлением и контролем работодателя, подчинении работника правилам внутреннего трудового распорядка при обеспечении работодателем условий труда, предусмотренных трудовым законодательством и иными нормативными правовыми актами, содержащими нормы трудового права, коллективным договором, соглашениями, локальными нормативными актами, трудовым договором.