Обязан ли я платить департаменту по найму жилья за года, которые они отсутствовали по их вине?

Здравствуйте,  Алексей.

Несмотря на то, что Вы указываете на то, что Договор найма был расторгнут, Вам лучше заплатить по выставленной Вам претензии, так как деньги могут взыскать с Вас в судебном порядке за фактическое пользование, так как Вы проживали в квартире, по акту ее, как я понял обратно не сдавали.

В этом случае, Вы сможете избежать выплаты судебных издержек.

«Гражданский процессуальный кодекс Российской Федерации» от 14.11.2002 N 138-ФЗ

Статья 98. Распределение судебных расходов между сторонами
 
1. Стороне, в пользу которой состоялось решение суда, суд присуждает возместить с другой стороны все понесенные по делу судебные расходы, за исключением случаев, предусмотренных частью второй статьи 96 настоящего Кодекса. В случае, если иск удовлетворен частично, указанные в настоящей статье судебные расходы присуждаются истцу пропорционально размеру удовлетворенных судом исковых требований, а ответчику пропорционально той части исковых требований, в которой истцу отказано.

С уважением!  Г.А.  Кураев

Должен ли я платить им всю сумму, которую они написали или только с момента заключения договора?

Алексей

Вы должны оплатить сумму за последние три года, т.к. срок исковой давности составляет 3 года (ст. 196 ГК РФ). При оплате обязательно укажите период оплаты, в противном случае могут отнести ваши платежи на годы за сроком исковой давности и вы снова окажетесь должны.

Если вы откажетесь оплачивать, то с вас будет взыскан долг как по договору, так и без договора, потому что по факту вы проживали, следовательно пользовались жильем (ст. 1102 ГК РФ).