Здравствуйте. На самом деле, не существует т.н. «справки об иждивении», хотя их обычно и выдают в местных администрациях. Нет и органа, который выдает такие справки. Если ребенок официально не усыновлен — он не имеет никакой юридической связи с этим мужчиной, он ему не родственник и у него на иждивении быть не должен, т.к. обязанность по содержанию детей лежит на их родителях (коим он не является). Факт нахождения на иждивении, впрочем, может установить суд (ст. 264 ГПК РФ).
Если дедушка родной, то никаких разрешений и доверенностей для поездки в пределах страны выдавать не нужно (но зачастую рекомендуется), т.к. в случае необходимости будет достаточно легко установить родство (дедушка является близким родственником). Если же человек родственником не является, то конечно может возникнуть вопрос, на каком основании ребенок был доверен постороннему человеку. Да и вопросы, по сути, могут возникнуть лишь в критических ситуациях, либо на транспорте (дети маленького возраста без сопровождения в поезд\на самолет не попадут, работники могут отказать по причине отсутствия подтверждающего родство документа или документа, подтверждающего право на сопровождение).