Имеют ли право супруги работать в ФБУ в качестве начальника отделения и инженера?

Здравствуйте, Татьяна!
В соответствии со статьей 3  Трудового кодекса РФ

Каждый имеет равные возможности для реализации своих трудовых прав.
Никто не может быть ограничен в трудовых правах и свободах или получать какие-либо преимуществав зависимости от пола, расы, цвета кожи, национальности, языка, происхождения, имущественного, семейного, социального и должностного положения, возраста, места жительства, отношения к религии, убеждений, принадлежности или непринадлежности к общественным объединениям или каким-либо социальным группам, а также от других обстоятельств, не связанных с деловыми качествами работника.

           В настоящее время Трудовой Кодекс РФ не содержит запретов на работу родственников в одном бюджетном учреждении.
Ранее запрещалась совместная служба на одном и том же государственном или муниципальном предприятии, в учреждении, организации лиц, состоящих между собой в близком родстве или свойстве (родители, супруги, братья, сестры, сыновья, дочери, а также братья, сестры, родители и дети супругов), если их служба связана с непосредственной подчиненностью или подконтрольностью одного из них другому, сейчас эта редакция не действует.
            Ограничения на совместную работу родственников действуют на служащих государственной и муниципальных служб, в соответствии с   Федеральным законом от 27.07.2004 N 79-ФЗ  «О государственной гражданской службе Российской Федерации»

5) близкого родства или свойства (родители, супруги, дети, братья, сестры, а также братья, сестры, родители, дети супругов и супруги детей) с гражданским служащим, если замещение должности гражданской службы связано с непосредственной подчиненностью или подконтрольностью одного из них другому;

и Федеральным законом от 02.03.2007 N 25-ФЗ  «О муниципальной службе в Российской Федерации»

5) близкого родства или свойства (родители, супруги, дети, братья, сестры, а также братья, сестры, родители, дети супругов и супруги детей) с главой муниципального образования, который возглавляет местную администрацию, если замещение должности муниципальной службы связано с непосредственной подчиненностью или подконтрольностью этому должностному лицу, или с муниципальным служащим, если замещение должности муниципальной службы связано с непосредственной подчиненностью или подконтрольностью одного из них другому;

 Таким образом, работа близких родственников может быть ограничена только федеральными нормативными правовыми актами.