Можно ли через суд сменить фамилию матери в свидетельстве ребенка?

Да суд прав.

Смена фамилии возможна  в таких ситуациях:

1. ребенка усыновляют;
   
2. одного из супругов лишили прав как родителя;
   
3. отцом ребенка признан другой человек;
   
4. религиозные убеждения семьи;
   
5. по инициативе самого ребенка.
   

Решение суда о проведении усыновления уже является основанием для смены фамилии. Чтобы получить св-во ребенка, нужно пойти в загс и написать об этом заявление, подается старое св-во о рождении, решение об усыновлении, св-во о браке и паспорта усыновителей. С новой фамилией вам должны предоставить свидетельство ровно через 1 месяц.