Что делать, если оплаченный товар не доставляют и никаких сроков по доставке не дают?

Здравствуйте. Повлиять на магазин можно с помощью письменной претензии на основании ФЗ «О защите прав потребителей», в которой воспользоваться правами, предоставленными статьей 23.1 ФЗ О защите прав потребителей, например, отказаться от исполнения договора купли-продажи и взыскания неустойки, если Вы производили предоплату (нужно видеть Ваш договор — какие сроки передачи товара в нем указаны?). 

Статья 23.1. Последствия нарушения продавцом срока передачи предварительно оплаченного товара потребителю

2. В случае, если продавец, получивший сумму предварительной оплаты в определенном договором купли-продажи размере, не исполнил обязанность по передаче товара потребителю в установленный таким договором срок, потребитель по своему выбору вправе потребовать:
передачи оплаченного товара в установленный им новый срок;
возврата суммы предварительной оплаты товара, не переданного продавцом.
При этом потребитель вправе потребовать также полного возмещения убытков, причиненных ему вследствие нарушения установленного договором купли-продажи срока передачи предварительно оплаченного товара.
3. В случае нарушения установленного договором купли-продажи срока передачи предварительно оплаченного товара потребителю продавец уплачивает ему за каждый день просрочки неустойку (пени) в размере половины процента суммы предварительной оплаты товара.
Неустойка (пени) взыскивается со дня, когда по договору купли-продажи передача товара потребителю должна была быть осуществлена, до дня передачи товара потребителю или до дня удовлетворения требования потребителя о возврате ему предварительно уплаченной им суммы.
Сумма взысканной потребителем неустойки (пени) не может превышать сумму предварительной оплаты товара.

Как можно повлиять на магазин, кроме жалобы в Роспотребнадзор (которую я подам), я так понимаю жалобу тоже будут рассматривать довольно долго

Ольга

Жалоба в Роспотребнадзор Вам в практическом плане мало что даст. Рассматриваться она будет 30 дней, и максимум, что может сделать Роспотребнадзор, это провести проверку и оштрафовать продавца на незначительную сумму.