Как взыскать задолженность за проделанную работу, если нет расписки, но есть переписка?

Здравствуйте Владимир!

 Доказать факт заключения договора займа в Вашем случае весьма проблематично.

 ГК РФ 

Статья 807. Договор займа

1. По договору займа одна сторона (займодавец) передает в собственность другой стороне (заемщику) деньги или другие вещи, определенные родовыми признаками, а заемщик обязуется возвратить займодавцу такую же сумму денег (сумму займа) или равное количество других полученных им вещей того же рода и качества.
Договор займа считается заключенным с момента передачи денег или других вещей.

Статья 808. Форма договора займа

 
1. Договор займа между гражданами должен быть заключен в письменной форме, если его сумма превышает не менее чем в десять раз установленный законом минимальный размер оплаты труда, а в случае, когда займодавцем является юридическое лицо, — независимо от суммы.
2. В подтверждение договора займа и его условий может быть представлена расписка заемщика или иной документ, удостоверяющие передачу ему займодавцем определенной денежной суммы или определенного количества вещей.

Решение Вашей проблемы возможно в судебном порядке.