Для того, чтобы отключение было произведено действительно законно — необходимо было вручить Вам под роспись 1) предварительное предупреждение, 2) акт об отключении, в котором указаны организация, производившая отключение, основание для отключения, должностные лица, осуществившие работы по отключению.
Если указанных выше действий произведено не было, то отключение было незаконным и юридически его (отключения) как бы тоже не было. В таком случае можно просто попросить знакомого электрика накинуть провод на электросчётчик.
Если все формальности всё же были соблюдены, то учитывая нахождение на Вашем иждивении несовершеннолетнего ребёнка и его проживание в квартире — можно обратиться в прокуратуру (лучше на приём к дежурному прокурору) о нарушении прав ребёнка. При этом, конечно говорите, что оплачивать готовы, но требуется соглашение на рассрочку на адекватных условиях...