Какую ответственность несет владелец сайта за личные сообщения пользователей?

В соответствии с п. 2 ст. 1260 ГК РФ базой данных является представленная в объективной форме совокупность самостоятельных материалов, систематизированных таким образом, чтобы эти материалы могли быть найдены и обработаны с помощью электронно-вычислительной машины. В соответствии с п. 1 ст. 1333 ГК РФ изготовителем базы данных признается лицо, организовавшее создание базы данных и работу по сбору, обработке и расположению составляющих ее материалов. Организация работы по формированию базы данных может заключаться, в частности, в приобретении прав на программное обеспечение, обрабатывающее и включающее в базу данных материалы автоматически, в том числе материалы, которые предлагаются пользователями. Организатор создания базы данных по своему усмотрению определяет принципы подбора и включения в нее материалов. В случае, если он своими программно-аппаратными средствами доводит базу данных до всеобщего сведения (подп. 11 п. 2 ст. 1270 ГК РФ), довод о том, что другим лицам была предоставлена возможность свободно, без какой-либо предварительной проверки включать в базу данных объекты авторского и смежного права, не может освободить его от ответственности за нарушение интеллектуальных прав других лиц.

Таким образом, владелец сайта несёт гражданско-правовую ответственность

Здесь уже могут возникнуть вопросы к Вам по другой статье, особенно когда большинство форумов и cms по-умолчанию шифруют сообщения пользователей, наряду с паролями.  

Статья 138. Нарушение тайны переписки, телефонных переговоров, почтовых, телеграфных или иных сообщений
 
1. Нарушение тайны переписки, телефонных переговоров, почтовых, телеграфных или иных сообщений граждан — наказывается штрафом в размере до восьмидесяти тысяч рублей или в размере заработной платы или иного дохода осужденного за период до шести месяцев, либо обязательными работами на срок до трехсот шестидесяти часов, либо исправительными работами на срок до одного года.

Вопрос: если они в личных сообщениях будут обсуждать что-то противозаконное, несу ли я за это ответственность и если да то какую? При условии что у меня есть доступ к личным сообщениям пользователей.

Денис

Формально ответственность Вы нести не будете. При условии, что Ваше Пользовательское соглашение составлено юридически правильно, т.е. со всякими оговорками и дисклеймерами. Тем не менее, нервы, Вам, компетентные органы, в случае если они о переписке узнают, потреплют.