Что нужно сделать, чтобы заселиться в квартиру сожителя?

Добрый день, Наталья! 
Насколько я понял из вашего сообщения, Ваш сын является единоличным собственником квартиры и его отцу не принадлежит доля в праве собственности на указанную квартиру.
При таким обстоятельствах, деятельность отца вашего ребенка является незаконной, так как он не имеет права сдавать в наём (аренду) квартиру, собственником которой он не является. 
Ваш сын имеет право вселиться в данную квартиру и проживать в ней как единоличный собственник. Согласия отца на это ему не требуется. Если же ситуация складывается таким образом, что отец сменил замок либо у вас нет ключей от домофона/квартиры чтобы попасть в нее, то есть несколько вариантов разрешения сложившейся проблемы:
1) Направить претензию на имя отца вашего ребенка (по последнему известному Вам его месту жительства) с требованием о передаче комплекта ключей и не препятствовании к осуществлению прав собственника — вашего сына, в том числе на вселение и проживание в указанной квартире. Установить определенный срок для ответа и направить заказным либо ценным письмом с уведомлением.

2) Вы, как законный представитель вашего ребенка, можете обратиться в правоохранительные органы с письменным заявлением где изложить информацию о сложившейся ситуации и попросить оказать содействие. Скорее всего, это не решит проблемы, но у вас в руках по итогу будет доказательство попытки разрешения проблемы до обращения в суд.
3) После получения уведомления о вручении либо возвращением письма за истечением срока хранения вы можете как законный представитель вашего ребенка обратиться в суд с исковым заявлением об устранении препятствий в пользовании жилым помещением к отцу вашего ребенка.
После вступления в силу решения суда по вашему иску вы имеете право с участием приставов фактически вселить в эту квартиру вашего ребенка.