Нужно ли через суд восстанавливать срок завещания?

То есть моя прописка и оплата квитанций за квартиру играет роль? 

— имеет значение. Это свидетельствует о фактическом принятии наследства.

Нотариус меня вообще слушать не захотела когда узнала что я пришла позже обещанного срока сказав что теперь только через суд мне надо восстанавливать срок завещания. 

--обычно, если нотариусу представить документы, свидетельствующие о фактическом принятии наследства, он выдает свидетельство. Но если отказывает — в суд.

А имеет ли смысл тот факт что отец не был приписан в той квартире которую мне завещал?

-это отношения к делу не имеет

В принципе нотариус  правильно вас направил в суд.В суде и будете восстанавливать срок и приводить данные доводы, о том.что фактически приняли наследство

ч.1 ГК РФ, ч.2 ГК РФ, ч.4 ГК РФ

«Гражданский кодекс Российской Федерации (часть третья)» от 26.11.2001 N 146-ФЗ (ред. от 28.03.2017)

ГК РФ Статья 1155. Принятие наследства по истечении установленного срока

1. По заявлению наследника, пропустившего срок, установленный для принятия наследства (статья 1154), суд может восстановить этот срок и признать наследника принявшим наследство, если наследник не знал и не должен был знать об открытии наследства или пропустил этот срок по другим уважительным причинам и при условии, что наследник, пропустивший срок, установленный для принятия наследства, обратился в суд в течение шести месяцев после того, как причины пропуска этого срока отпали.

По признании наследника принявшим наследство суд определяет доли всех наследников в наследственном имуществе и при необходимости определяет меры по защите прав нового наследника на получение причитающейся ему доли наследства (пункт 3 настоящей статьи). Ранее выданные свидетельства о праве на наследство признаются судом недействительными.

2. Наследство может быть принято наследником по истечении срока, установленного для его принятия, без обращения в суд при условии согласия в письменной форме на это всех остальных наследников, принявших наследство. Если такое согласие в письменной форме дается наследниками не в присутствии нотариуса, их подписи на документах о согласии должны быть засвидетельствованы в порядке, указанном в абзаце втором пункта 1 статьи 1153 настоящего Кодекса. Согласие наследников является основанием аннулирования нотариусом ранее выданного свидетельства о праве на наследство и основанием выдачи нового свидетельства.