Можно ли при прописке в одном городе автоматически выписаться в другом?

Здравствуйте, Наталья, да, вполне законно по  РФ.  

Закон РФ от 25.06.1993 N 5242-1 (ред. от 03.04.2017) «О праве граждан Российской Федерации на свободу передвижения, выбор места пребывания и жительства в пределах Российской Федерации»

Статья 6. Регистрация гражданина Российской Федерации по месту жительства

Гражданин Российской Федерации (за исключением случая, предусмотренного статьей 6.1 настоящего Закона), изменивший место жительства, обязан не позднее семи дней со дня прибытия на новое место жительства обратиться к лицу, ответственному за прием и передачу в органы регистрационного учета документов для регистрации и снятия граждан Российской Федерации с регистрационного учета по месту пребывания и по месту жительства в пределах Российской Федерации, а в случаях, предусмотренных настоящим Законом и правиламирегистрации и снятия граждан Российской Федерации с регистрационного учета по месту пребывания и по месту жительства в пределах Российской Федерации, непосредственно в орган регистрационного учета с заявлением по установленной форме. При этом предъявляются:
(в ред. Федеральных законов от 06.12.2011 N 399-ФЗ, от 28.12.2013 N 387-ФЗ)

паспорт или иной заменяющий его документ, удостоверяющий личность гражданина;
документ,

являющийся в соответствии с жилищным законодательством Российской Федерации основанием для вселения в жилое помещение, за исключением случаев, предусмотренных настоящим Законом и другими федеральными законами, или его надлежаще заверенная копия. Гражданин Российской Федерации вправе не предъявлять документ, являющийся основанием для вселения гражданина в жилое помещение (договор социального найма, договор найма жилого помещения государственного или муниципального жилищного фонда, прошедшие государственную регистрацию договор или иной документ, выражающие содержание сделки с недвижимым имуществом, свидетельство о государственной регистрации права либо иной документ), если сведения, содержащиеся в соответствующем документе, находятся в распоряжении государственных органов или органов местного самоуправления.В данном случае орган регистрационного учета самостоятельно запрашивает соответствующий документ (сведения, содержащиеся в нем), выписку из соответствующего реестра, иную информацию в соответствии с законодательством Российской Федерации в государственных органах, органах местного самоуправления и производит регистрацию гражданина по месту жительства не позднее восьми рабочих дней со дня подачи им заявления о регистрации по месту жительства и документа, удостоверяющего личность в соответствии с законодательством Российской Федерации.

Добрый день!

В соответствии с Постановлением Правительства РФ от 17.07.1995 N 713 снятие гражданина с регистрационного учета по месту жительства производится органами регистрационного учета в случае изменения места жительства — на основании заявления гражданина о регистрации по новому месту жительства или заявления о снятии его с регистрационного учета по месту жительства (в письменной форме или в форме электронного документа). При регистрации по новому месту жительства, если гражданин не снялся с регистрационного учета по прежнему месту жительства, орган регистрационного учета в 3-дневный срок обязан направить соответствующее уведомление в орган регистрационного учета по прежнему месту жительства гражданина для снятия его с регистрационного учета.

Органы регистрационного учета на основании полученных документов снимают граждан с регистрационного учета по месту жительства в 3-дневный срок.

Соответственно, можете.