Имеют ли право отказать в предоставлении отпуска, ссылаясь на грядущие экзамены?

Здравствуйте, Наталья.

руководство подписала заявление

Наталья

это было именно заявление о предоставлении отпуска в конкретные даты, а не заявление о внесении желаемого периода отпуска в график отпусков?

Если это было именно заявление на отпуск, то виза работодателя с распоряжением предоставить отпуск является основанием для его предоставления при издании приказа на отпуск. Приказ, как я понимаю, не издавался. И тут как раз будет спорный момент — достаточно ли одной визы (а тем более, если распоряжения не было, а было просто «подписание») заявления для возникновения обязанности работодателя предоставить вам отпуск.

Если вариант второй — то нужно смотреть, какой период отпуска в результате был внесен в график отпусков, так как утвержденный график отпусков обязателен и для работника,  и  для работодателя (ст. 123 ТК РФ).