Может ли мать проживать по прописке ребёнка?

Да. Закон не возбраняет проживать гражданину по выбранному ним месту проживания. Тем более место жительства Вашей бывшей супруги зарегистрировано.

Евгений, добрый вечер! В соответствии с п.2 ст.24 СК РФ, если родители не определили с кем будет проживать ребенок, то  суд определяет место проживания ребенка. Если судом будет установлен порядок проживания матери с несовершеннолетним ребенком, то может.

«Семейный кодекс Российской Федерации» от 29.12.1995 N 223-ФЗ (ред. от 14.11.2017)СК РФ Статья 24. Вопросы, разрешаемые судом при вынесении решения о расторжении брака

 1. При расторжении брака в судебном порядке супруги могут представить на рассмотрение суда соглашение о том, с кем из них будут проживать несовершеннолетние дети, о порядке выплаты средств на содержание детей и (или) нетрудоспособного нуждающегося супруга, о размерах этих средств либо о разделе общего имущества супругов.
2. В случае, если отсутствует соглашение между супругами по вопросам, указанным в пункте 1 настоящей статьи, а также в случае, если установлено, что данное соглашение нарушает интересы детей или одного из супругов, суд обязан:
определить, с кем из родителей будут проживать несовершеннолетние дети после развода;
определить, с кого из родителей и в каких размерах взыскиваются алименты на их детей;
по требованию супругов (одного из них) произвести раздел имущества, находящегося в их совместной собственности;
по требованию супруга, имеющего право на получение содержания от другого супруга, определить размер этого содержания.
3. В случае, если раздел имущества затрагивает интересы третьих лиц, суд вправе выделить требование о разделе имущества в отдельное производство.

С уважением, Татьяна.

22.12.2017г.