Как определить начало 10-дневного срока претензии при неудачной попытке ее вручения?

Добрый день!
Сроки досудебного урегулирования зависят от сути спора — это нарушение прав потребителей, спор, вытекающий из экономической и предпринимательской деятельности, рассматриваемый арбитражным судом.
К сожалению, Вы этого не написали, а не каждый юрист является экстрасенсом.
Руководствоваться следует положением о юридически значимых сообщениях.
Началом срока будет дата доставки сообщения адресату, то есть дата неудачного вручения. 

Статья 165.1 ГК РФ. Юридически значимые сообщения

1. Заявления, уведомления, извещения, требования или иные юридически значимые сообщения, с которыми закон или сделка связывает гражданско-правовые последствия для другого лица, влекут для этого лица такие последствия с момента доставки соответствующего сообщения ему или его представителю. 
Сообщение считается доставленным и в тех случаях, если оно поступило лицу, которому оно направлено (адресату), но по обстоятельствам, зависящим от него, не было ему вручено или адресат не ознакомился с ним. 
2. Правила пункта 1 настоящей статьи применяются, если иное не предусмотрено законом или условиями сделки либо не следует из обычая или из практики, установившейся во взаимоотношениях сторон.

Александр, здравствуйте!

Направление претензии не обязательная процедура при разрешении конфликта между потребителем и продавцом товара либо исполнителем услуг, работ. Потребитель уполномочен, минуя ее, сразу же обратиться в суд с исковым заявлением для восстановления своих прав. Тем не менее, грамотно составленная претензия напоминает продавцу, производителю товара, равно и исполнителю соответствующих работ, услуг, что они могут быть привлечены к административной, гражданской, уголовной ответственности в соответствии с законодательством РФ, что следует из ст. 43 Закона «О защите прав потребителей». В некоторых случаях соблюдение описанной процедуры позволяет решить вопрос мирным путем, что существенно экономит время обеим сторонам.

Так, претензию следует оформлять в произвольной форме с указанием обстоятельств, даты, места заключения договора, сути заявленных претензий (недостатки товара, услуг, работ, нарушение сроков доставки или исправления недостатков), требований потребителя, основанных на нормам Закона «О защите прав потребителей», сроков их исполнения. Следует поставить продавца (исполнителя) в известность о намерении обратиться в суд при игнорировании или отказе в удовлетворении требований, а также с жалобой в контролирующие инстанции и возможные последствия, связанные с перечисленными мерами. Обязательно следует подписать документ и указать дату его составления.

Подавать лично или через уполномоченного представителя продавцу (исполнителю) в двух экземплярах, один из них остается у потребителя с отметкой о получении, датой, подписью. При получении отказа фиксировать факт получения претензии или при невозможности предоставить претензию таким способом, что имеет место при дистанционных покупках, претензия направляется заказным письмом с уведомлением и описью вложения. Оба описанных варианта доставки претензии позволяют в дальнейшем при судебном рассмотрении дела ссылаться на отказ или игнорирование продавца/исполнителя удовлетворить требования добровольно и дополнительно предъявить требование о взыскании в пользу потребителя штрафа в размере половины от суммы удовлетворенных требований согласно ст. 13 Закона «О защите прав потребителей».

Александр, если у вас остались вопросы, задавайте, с радостью отвечу. Также вы можете написать мне в чате и заказать персональную консультацию или подготовку документа по вашему вопросу. Всего доброго!