По сути балкон является общим имуществом, хотя квартиры индивидуальные.
Эти отношения регулируются по аналогии с другим орбщим имуществом нормами ст.247 Гражданского кодекса РФ, часть первая
Статья 247. Владение и пользование имуществом, находящимся в долевой собственности
1. Владение и пользование имуществом, находящимся в долевой собственности, осуществляются по соглашению всех ее участников, а при недостижении согласия — в порядке, устанавливаемом судом.
Чтобы подготовиться к суду, предложите навести порядок и предоставить Вам право пользования балконом. Если не реагируют, то надо подготовить иск в суд.
До иска в суд можно написать жалобу на них в УК, чтобы они имели представление о случившейся ситуации. В УК и выясните, не отнесены ли балконы к общедомовому имуществу, за содержание которого отвечает УК.
Если балконы общедомовое имущество, то требуйте от УК устранения нарушений со стороны соседей. Пусть УК обращается в суд.
Но надо знать, что на таких соседей есть управа.