Как ускорить процесс получения квартиры после решения суда?

Решение суда по вашему делу уже состоялось, оно обязательно для исполнения. В нем же наверняка указано, где и какую квартиру вам обязаны выдать. Требовать получения квартиры в другом месте вы не можете

Статья 13. Обязательность судебных постановлений

2. Вступившие в законную силу судебные постановления, а также законные распоряжения, требования, поручения, вызовы и обращения судов являются обязательными для всех без исключения органов государственной власти, органов местного самоуправления, общественных объединений, должностных лиц, граждан, организаций и подлежат неукоснительному исполнению на всей территории Российской Федерации.

 Поскольку уже есть конкретное решение суда о выделении Вам как сироте в льготном порядке благоустроенного жилого помещения и это решение вступило в силу, Вам нужно получить в канцелярии суда исполнительный лист и передать его в службу судебных приставов — для исполнения.

  Будет возбуждено исполнительное производство и администрация исполнит решение суда, выделив Вам квартиру