Для продления отпуска лично я не вижу оснований.
Попробуйте договориться с командиром дистанционно, передать в часть документы и попросить предоставить отпуск в соответствии с п. 7 ст. 31 Положения о порядке прохождения военной службы. (или по личным обстоятельствам п. 11 ст. 31)
Иначе остается только ехать в часть с ребенком.
11. Отпуск по личным обстоятельствам предоставляется военнослужащему на срок до 10 суток в случае: а) тяжелого состояния здоровья или смерти (гибели) близкого родственника военнослужащего (супруга, отца, матери, сына, дочери, родного брата, родной сестры, отца, матери супруга или лица, на воспитании которого находился военнослужащий); б) пожара, другого стихийного бедствия, постигших семью или близкого родственника военнослужащего; в) в других исключительных случаях, когда присутствие военнослужащего в семье необходимо, - по решению командира воинской части. Обстоятельства, по которым предоставлен такой отпуск, должны быть документально подтверждены.
7. Военнослужащему мужского пола, проходящему военную службу по контракту, по его просьбе однократно предоставляется дополнительный отпуск сроком до трех месяцев в случае смерти жены при родах, а также если он воспитывает одного или нескольких детей в возрасте до 14 лет (детей-инвалидов в возрасте до 16 лет) без матери (в случае ее смерти или гибели, лишения ее родительских прав, длительного ее пребывания в лечебном учреждении и в других случаях отсутствия материнского попечения о детях).