Добрый день, Елена! В суд обратиться, конечно, можете. Взыскать недоплаченную Вам сумму имеете полное право. А вот насчет морального ущерба, сильно сомневаюсь, что Вы сумеете что-то взыскать. Я приведу соответствующую статью Гражданского кодекса РФ:
ГК РФ Статья 151. Компенсация морального вреда
Если гражданину причинен моральный вред(физические или нравственные страдания) действиями, нарушающими его личные неимущественные права либо посягающими на принадлежащие гражданину нематериальные блага, а также в других случаях, предусмотренных законом, суд может возложить на нарушителя обязанность денежной компенсации указанного вреда.
(в ред. Федерального закона от 02.07.2013 N 142-ФЗ)
(см. текст в предыдущей редакции)
При определении размеров компенсации морального вреда суд принимает во внимание степень вины нарушителя и иные заслуживающие внимания обстоятельства. Суд должен также учитывать степень физических и нравственных страданий, связанных с индивидуальными особенностями гражданина, которому причинен вред.
То есть, в статье в первую очередь речь идет о действиях, нарушающих личные неимущественные права. У Вас совсем другая ситуация, у Вас имущественные права нарушены. Да и наличие нравственных и физических страданий надо доказать.