Есть ли у меня возможность повлиять на трудоустройство в конкретную компанию?

Здравствуйте, Василий.

Чтобы не оказываться в таких ситуациях, конечно, лучше до увольнения получить письменное приглашение в порядке перевода, от которого работодатель в последующем не сможет откреститься. Либо можно было сначала заключить трудовой договор с датой вступления его в силу сразу после подписания, но к работе приступить, например, через 15 дней, то есть, чтобы вы успели уведомить прежнего работодателя об увольнении за две недели.

Запрещается отказывать в заключении трудового договора работникам, приглашенным в письменной форме на работу в порядке перевода от другого работодателя, в течение одного месяца со дня увольнения с прежнего места работы.
По письменному требованию лица, которому отказано в заключении трудового договора, работодатель обязан сообщить причину отказа в письменной форме в срок не позднее чем в течение семи рабочих дней со дня предъявления такого требования.
Отказ в заключении трудового договора может быть обжалован в суд.

ст. 64, «Трудовой кодекс Российской Федерации» от 30.12.2001 N 197-ФЗ (ред. от 01.07.2017) {КонсультантПлюс}

В итоге есть очень большая вероятность, что компания не возьмет меня на работу.

Василий

сможете обжаловать такой отказ, в том числе потребовать возместить вам моральный вред, если докажете, что вам причинены нравственные и физические страдания (на практике — компенсация максимум будет 1-3 тыс. руб.).

Я заполнил и передал в HR Анкету, прошел медосмотр и передал в HR его результат. Далее я согласовал дату выхода на работу. Все это подтверждается перепиской в почте.

Василий

если к работе так и не приступили, то говорить о фактическом допущении к работе,  а значит, заключении тр. договора без письменного его оформления, не приходится.