Можно ли получить моральную компенсацию за ДТП в такси?

Да, конечно. Фирма, оказывающая услуги такси, будет обязана компенсировать причиненный Вам вред. В данной ситуации главное это зафиксировать все обстоятельства — то, что в момент ДТП Вы были в машине, водитель перевозил ребенка с нарушением требований закона, если обращались за медицинской помощью, взять справку. Также стоит отметить, что в данном случае руководство компании-перевозчика может и не будет доводить дело до суда и предложит устраивающий Вас размер компенсации. 

Вместе с тем, учитывая, что Вы родитель, и согласились на перевозку ребенка с нарушением требований правил безопасности, Вас тоже могут привлечь к административной ответственности, но на степень ответственности перевозчика это не влияет.

Здравствуйте! Чтобы взыскать с таксопарка, нужно будет доказать, что водитель именно там работает, то есть установить их взаимоотношения, как работника и работодателя. Если окажется, что работодателя нет, то требуйте компенсации с виновника дтп. Для этого вам потребуется взять справку из гибдд о случившемся дорожно-транспортном происшествии, справку из травмпункта о наличии ушибов, травм. Можете сначала потребовать устно, если никто не согласится возмещать ущерб, то обращаться в суд.