Здравствуйте, Лина.
Нет, заново прописываться не надо. В новом паспорте проставят отметку о месте регистрации:
Приказ ФМС России от 30.11.2012 N 391
«Об утверждении Административного регламента Федеральной миграционной службы по предоставлению государственной услуги по выдаче и замене паспорта гражданина Российской Федерации, удостоверяющего личность гражданина Российской Федерации на территории Российской Федерации»
90. В паспорте производятся следующие отметки и записи:
90.1. О регистрации гражданина и снятии его с регистрационного учета по месту жительства:
путем проставления оттиска штампа о регистрации по месту жительства по форме N 4П (приложение N 4 к Административному регламенту) или путем внесения оттиска штампа по форме N 5П (приложение N 5 к Административному регламенту) с заполнением его с использованием специального принтера;В паспортах, выдаваемых гражданам в связи с заменой или утратой (если место жительства лица не изменилось), военнослужащим, а также гражданам, получающим паспорта впервые или по достижении 14-летнего возраста, в оттиске штампа о регистрации по месту жительства проставляется первоначальная дата регистрации по данному месту жительства.
Надеюсь, что помог в разрешении вопроса.