Здравствуйте, Эмилия!
Если бабушка единственный собственник квартиры, тогда необходимо получить от нее подпись на заявлении о предоставлении жилого помещения для регистрации. Лучше заключить договор между бабушкой (собственником) и родителем о безвозмездном использовании помещения. Такой договор подписывается двумя сторонами: бабушкой и родителем в интересах ребенка.
Для регистрации целесообразно предоставить: свидетельство о рождении ребёнка,
удостоверение личности родителя, заявление родителя с просьбой о регистрации ребёнка по адресу проживания бабушки, необязательно, но желательно иметь официальное согласие на регистрацию ребёнка от второго родителя, документ-подтверждение права собственности с копией лицевого финансового счёта.
Готов оказать помощь в составлении договора.