Здравствуйте, Павел.
Строго по закону, по доверенности регистрация по месту жительства не осуществляется.
Но, некоторые сотрудники органов миграционного учета пропускают по доверенности документы.
Можно привлечь нотариуса и удостоверить ее заявление на регистрацию по месту жительства нотариально, а предоставить документы, можно по доверенности.
При регистрации по месту жительства одновременно она снимается с регистрационного учета по старому месту жительства о чем направляется уведомление сотрудниками органов миграционного учета.
Утверждены
Постановлением Правительства
Российской Федерации
от 17 июля 1995 г. N 713
ПРАВИЛА
РЕГИСТРАЦИИ И СНЯТИЯ ГРАЖДАН РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
С РЕГИСТРАЦИОННОГО УЧЕТА ПО МЕСТУ ПРЕБЫВАНИЯ И ПО МЕСТУ
ЖИТЕЛЬСТВА В ПРЕДЕЛАХ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
16. Гражданин, изменивший место жительства, обязан не позднее 7 дней со дня прибытия на новое место жительства обратиться к лицам, ответственным за прием и передачу в органы регистрационного учета документов, и представить:
документ, удостоверяющий личность;
абзац исключен. — Постановление Правительства РФ от 14.08.2002 N 599;
заявление установленной формы о регистрации по месту жительства;
документ, являющийся в соответствии с жилищным законодательством Российской Федерации основанием для вселения в жилое помещение.
31. Снятие гражданина с регистрационного учета по месту жительства производится органами регистрационного учета в случае:
а) изменения места жительства — на основании заявления гражданина о регистрации по новому месту жительства или заявления о снятии его с регистрационного учета по месту жительства (в письменной форме или в форме электронного документа). При регистрации по новому месту жительства, если гражданин не снялся с регистрационного учета по прежнему месту жительства, орган регистрационного учета в 3-дневный срок обязан направить соответствующее уведомление в орган регистрационного учета по прежнему месту жительства гражданина для снятия его с регистрационного учета;
Приложение
к приказу ФМС России
от 11 сентября 2012 г. N 288
АДМИНИСТРАТИВНЫЙ РЕГЛАМЕНТ
ПРЕДОСТАВЛЕНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЙ МИГРАЦИОННОЙ СЛУЖБОЙ
ГОСУДАРСТВЕННОЙ УСЛУГИ ПО РЕГИСТРАЦИОННОМУ УЧЕТУ ГРАЖДАН
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПО МЕСТУ ПРЕБЫВАНИЯ И ПО МЕСТУ
ЖИТЕЛЬСТВА В ПРЕДЕЛАХ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Регистрация граждан по месту жительства
81. Гражданин, изменивший место жительства, не позднее 7 дней со дня прибытия на новое место жительства обращается с заявлением о регистрации по месту жительства по форме N 6 (приложение N 3 к Регламенту) к лицам, ответственным за прием и передачу в органы регистрационного учета документов, а при их отсутствии — к собственнику жилого помещения.
83. Заполненные документы, а также документ, удостоверяющий личность гражданина, заявление о регистрации по месту жительства по форме N 6 (приложение N 3 к Регламенту), документ, являющийся основанием для вселения в жилое помещение, либо сведения о нем в заявлении о регистрации по месту жительства, лица, ответственные за регистрацию, в 3-дневный срок со дня обращения к ним граждан представляют в орган регистрационного учета.
С уважением! Г.А. Кураев
И что это даст для регистрации в Туле? Заявление на регистрацию по месту жительства/пребывания всё равно придётся подать. Тут плюс лишь для покупателя недвижимости.