Здравствуйте.
Постановление Правительства РФ от 17.07.1995 N 713 (ред. от 25.05.2017) «Об утверждении Правил регистрации и снятия граждан Российской Федерации с регистрационного учета по месту пребывания и по месту жительства в пределах Российской Федерации и...
31. Снятие гражданина с регистрационного учета по месту жительства производится органами регистрационного учета в случае:
а) … При регистрации по новому месту жительства, если гражданин не снялся с регистрационного учета по прежнему месту жительства, орган регистрационного учета в 3-дневный срок обязан направить соответствующее уведомление в орган регистрационного учета по прежнему месту жительства гражданина для снятия его с регистрационного учета.
Т.е. штамп выписки и прописки ставиться одновременно.
По второму вопросу: Все будет зависеть от того, есть ли в квартире приборы учета. Основной платеж — отопление оплачивается исходя из площади квартиры.