Здравствуйте!
Не прав, в данном случае Ваш отдел кадров, который обязан известить Вас о времени начала отпуска под роспись не позднее чем за две недели до его начала, т.е. 2 мая Вы уже должны быть ознакомлены с приказом о предоставлении ежегодного отпуска, а не заявление писать! (ч.3 ст.123 ТК РФ).
При наличии утвержденного графика отпусков у работника уже нет обязанности писать заявление о предоставлении отпуска, разве что в исключительных случаях (например, необходимость в связи с семейными обстоятельствами этот отпуск перенести).
Однако такая практика есть во многих организациях, при этом законом не установлено, кто именно должен передавать заявление: сам работник, руководитель, экспедитор или другое лицо. В каждой организации складываются свои «обычаи». Поэтому Ваш начальник вполне в своем праве, и доставить заявление придется Вам.
Удачи!