Какие права матери, если совершеннолетний ребенок хочет забрать заявление об алиментах с долгом отца?

Алиментные обязательства — обязанность вашего супруга перед вами, соответственно, ваше обязательство — расходовать алименты в интересах ребенка. Как видите, непосредственно к алиментам ребенок как такового отношения не имеет.
Далее.
Алименты взыскивали вы. Сторонами по делу были вы и бывший муж. Ребенок к делу не привлекался. Исполнительный лист выдан вам. Взыскатель — вы. Исппроизводство возбуждено по вашему заявлению. Задолженность — перед вами.
Следовательно, ребенок, не являясь стороной по делу, не являясь взыскателем и кредитором по отношению к должнику, не может прекратить долговые обязательства. Совершеннолетие здесь не при чем.