Добрый день, Кристина!
Вопрос Ваш очень даже интересный, Вы хотите получить на вопрос ответ, который будет с применением норм права для чиновника данного уровня, или все-таки личное мнение юриста по данному вопросу. Во-первых, ответственность, возложенная на Председателя Правительства служебными обязанностями служить народу, не позволит ему не выйти на работу на следующий день, если даже Президент отказал последнему в отставке. Во-вторых, Президент разберется в причинах, повлекших желание чиновника уйти в отставку. И если найдет причины обоснованными, уважительными, независимо личные, семейные или связанные со здоровьем, с профессиональной деятельностью чиновника данного уровня, то Президент обязан подписать Указ об отставке, но для принятия данного решения потребуется определенное время. Необходимо будет назначить ИО Председателя Правительства. Существует определенная процедура. Если же Вы хотите услышать, что отставка необходима в связи с понижением рейтинга доверия к работе Председателя Правительства, резким снижением % россиян одобряющих деятельность чиновника, и другими немаловажными жизненными и социальными факторами, то решение Президента должно быть мотивированным и обоснованным. Понимаете, Председатель Правительства — это можно сказать голова всех министерств и ведомств, а во главе каждой из указанных структур свои руководители, которые несут ответственность за работу в подведомственных им структурах. Поэтому при смене Председателя Правительства деятельность органов исполнительной власти будет продолжена в нормальном режиме.
Удачи Вам! С уважением, Татьяна!